"TENDENCIAS ACTUALES DE LA RESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS"
D. Claude Gaulin
Gracias de nuevo por haberme invitado y un saludo a todos los colegas que trabajan en la edu-
cación matemática.
Espero que esta conferencia sea una oportunidad para reflexionar sobre el tema de la resolu-
ción de problemas. Lo que diré no son cosas muy avanzadas, pero creo que es importante
tener conciencia de ello porque, en la educación matemática en la que trabajamos todos, la
resolución de problemas tiene un papel muy importante y hay que mejorar las cosas en este
sentido y, me gustaría, reflexionar con ustedes sobre maneras de mejorarla.
Aunque el título de la conferencia es "Tendencias actuales en la Resolución de Problemas", no
será solamente sobre tendencias sino que serán observaciones sobre el tema de la resolución
de problemas. El plan de la presentación, si hay tiempo, es pasar a través de las tres etapas.
En la primera parte hablaré del tema de que la resolución de problemas sigue siendo un tema
muy actual y de gran importancia en la educación matemática. En la segunda parte hablaré de
las dificultades mayores que se encuentran en la de la resolución de problemas en el ámbito
escolar. Hablaré a partir de mi experiencia..., lo que he observado..., he leído... En la tercera
parte daré ejemplos de lo que podemos hacer para mejorar las cosas en el futuro sobre el
mismo tema.
Antes de empezar hay que mencionar una cosa importante: cuando hablamos de resolución
de problemas, la palabra "problema" tiene varios sentidos dependiendo de la persona que
habla y, para evitar malentendidos, tengo que insistir en que, en esta conferencia, cuando
hablo de problemas o situaciones problema, yo no hablo de ejercicios..., de cosas rutinarias
para practicar sino que hablo de situaciones donde hay que reflexionar, hay que buscar, hay
que investigar..., donde para responder hay que pensar mucho.
De esta manera lo que estoy excluyendo es lo que llamamos ejercicios, aunque hay personas
que, cuando hablan de problemas, incluyen todo esto. Por tanto, cuando hablo de tendencias
en la resolución de problemas, me estoy limitando al caso de esas situaciones donde los alum-
nos van a trabajar mucho, donde no será suficiente aplicar un algoritmo o una fórmula.
Tendrán que pensar y definir una estrategia, de manera que, a veces, necesitarán mucho
tiempo. No habrá, por tanto, una respuesta automática y rápida cuando hay un problema.
La primera parte que yo anuncié, sigue siendo un tema muy actual y de gran importancia en
educación matemática. Esto depende de los países, hay países en los que sobre este tema se
habla desde hace treinta años, hay otros en los que es bastante novedoso. Esto depende del
contexto y del país pero, lo que importa es saber que es un tema viejo (antiguo) y, sin embargo,
en los currículos es un tema reciente.
(*) Conferencia pronunciada el día 15/12/2000 en el Palacio Euskalduna (Bilbao).
Es una transcripción de la conferencia pronunciada.
1 Profesor de la Universidad de Laval (Québec - Canadá)
Por ejemplo, el libro de Polya, "Cómo plantear y resolver problemas" de 1945, fue traducido
y publicado en otros idiomas en los años 60/70 y, en algún caso, en los 80 y, sin embargo,
está publicado en 1945, ¡hace ya 50 años!... y, cuando se habla de resolución de problemas,
hay que mencionar el nombre del gran matemático George Polya, que era húngaro y terminó
su vida en los EEUU, y que en ese libro ya insistía mucho sobre una cosa, que yo llamo el pos-
tulado de Polya, aunque él no lo citaba así. Polya dice:
"Hacer Matemáticas es resolver
problemas"
, y para dar una buena idea a los alumnos de lo que es hacer Matemáticas, hay
que darles problemas para resolver, problemas. , no ejercicios...,¡¡problemas!!, para buscar,
reflexionar, buscar mucho, investigar...
Esa publicación y las que publicó posteriormente, tuvieron una cierta influencia sobre los
matemáticos profesionales, pero tardó más en tener influencia en la educación en el ámbito
escolar. Poco a poco la gente, que trabajaba en educación matemática, se interesó en el tema,
porque el mismo Polya publicaba mucho..., muchos artículos, daba conferencias y otras per-
sonas, que escuchaban al Polya, dijeron que eran muy buenas ideas para intentar aplicarlas
en la educación.
La idea de Polya era que es esencial que, en la escuela, en lugar de enseñar algoritmos y dar
ejercicios repetitivos, se den a los alumnos muchos más problemas para resolver y, a través de
esa actividad, tendrán una mejor idea de lo que es hacer matemáticas. Para Polya resolver pro-
blemas incluye no solamente buscar soluciones sino que, al final, incluye justificar y, a veces,
hacer una demostración. Esto último está también incluido para él.
Voy a dar un ejemplo. En 1966 el ICMI, que es el organismo internacional sobre la educación
matemática, organizó una encuesta, escribiendo a varios países, pidiéndoles que realizaran un
informe sobre el tema del "Papel de los problemas en la actividad matemática con aplicación
en el ámbito escolar". En Inglaterra, por ejemplo, en 1966, se publicó un pequeño libro con
muchos artículos de mucha gente sobre este tema. Lo que significa que el tema de la resolu-
ción de problemas no es tan nuevo pero, en esta época, era un tema de reflexión, no era parte
de los currículos y la polaca Anna Krikowska publicó un resumen de todo esto en el año 1966.
Después, en los años 70 y 80, hubo un gran número de investigaciones, personas como
Kilpatrick, Lester, Goulding y muchos otros en EEUU; también en Europa hubo algunos inves-
tigadores, que empezaron a investigar el tema de la resolución de problemas para el nivel
preuniversitario como tema de investigación didáctica. Por ejemplo en 1975, hace 25 años,
hubo un taller (workshop) en los EEUU, con especialistas en este tema que discutieron cómo
hacer investigaciones sobre resolución de problemas, que realizaron un extenso trabajo sobre
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Claude Gaulin
Claude Gaulin en la conferencia
las diversas variables que hay que tener en cuenta en las investigaciones...., y, poco a poco,
el tema se introdujo... y fue conocido por los especialistas de la educación matemática. Pero
seguía sin ser parte de los currículos.
En 1980, en el IV-ICMI celebrado en Berkeley, que fue el gran congreso internacional, hubo
un gran grupo de trabajo sobre el tema de la resolución de problemas. La idea era la de inte-
resar al público (profesorado) de todos los países del mundo, para que el tema fuera más
tenido en cuenta en los currículos. Ese workshop (taller) fue dirigido por personas de
Inglaterra, con la ayuda de personas de varios países.
En el siguiente ICMI, en Australia-84, hubo de nuevo un working-group (grupo de trabajo) muy
importante, de manera que, a través de todo el mundo, se habló de este tema como un tema de
interés para el nivel escolar...., porque anteriormente, al inicio, cuando Polya escribía sus traba-
jos, sólo era escuchado por los matemáticos y esas ideas se aplicaban a nivel universitario.
Ahora, poco a poco, está llegando a su introducción a nivel escolar. En) 1980, -tomaré el
ejemplo más conocido aunque no es el único-, el
NCTM
(National Council of Teachers of
Mathematics), que es una gran organización de profesores de Matemática de EEUU, publicó
algo muy importante, que se llama
"Agenda for Action"
, un plan para actuar en educación
matemática, con recomendaciones para la matemática escolar de los años 80.
La primera recomendación que apareció, creo que la primera de seis, era que
"la resolución
de problemas debe ser el objetivo principal, en inglés "focus, de la enseñanza de la
Matemática en la década de los 80"
; entonces, hace veinte años ya se hablaba como objetivo
principal de
"introducir ese tema en los currículos"
, al menos, en América del Norte.
Al mismo tiempo también existían trabajos en Europa, en Inglaterra había mucha gente traba-
jando sobre este tema, en Francia, estaba Glaiser, bien conocido, que trabajaba sobre el tema.
En España tabién hay gente trabajando, aunque debe ser un poco más tarde, en los años 80.
Por lo tanto, se puede observar que el movimiento crece y, a nivel internacional, se habla más
del tema. Al final, en los EEUU, porque estoy tomando mis ejemplos en 1989, aparecieron los
"Standards........"
, creo que muchos de ustedes conocen la traducción al español que fue
hecha por la sociedad Thales,
"Estándares curriculares....."
. Ahora tendrán que recomenzar
porque hay una nueva edición, pero [la edición traducida] es la de 1989.
De nuevo no son un programa, son estándares (modelos). Estándares significa
"normas de cali-
dad de un currículo"
y, entonces, ese documento proponía normas de calidad de un currículo
de Matemáticas. Había temas como: Números, Algebra, Geometría, etc. y estaba el tema de
resolución de problemas, como yo digo..... un "supertema". La idea era que en el documento
se presenta la resolución de problemas como un supertema que viene a integrar todo. Es la
línea roja que pasa alrededor, y a través, de los temas de Aritmética, Algebra, Geometría,
Análisis de datos, etc. Es un tema que se encuentra en cualquier lugar del currículo y sirve
para unificar. Esta era la idea y, la misma idea, se encuentra ahora en los programas de otros
países del mundo.
Podemos ver entonces, que la resolución de problemas no es nueva e incluso, a nivel escolar,
hace más o menos veinte años que se habla de esto y lo curioso es
que tenemos la impresión
que, en realidad, en las escuelas, es un tema poco implantado...,
que hay mucho más que
hacer sobre este tema.
Desde el punto de vista teórico, la gente está de acuerdo en que, resolver problemas, es una
buena actividad, pero hay algo que falta para que esté bien implantado..., lo vamos a ver
más tarde. Ahora, para terminar esta sección, lo que yo pretendo señalar es que hay nuevos
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Tendencias actuales de la resolución de problemas
factores que vienen a reforzar la actualidad e importancia de este tema que, en lugar de dis-
minuir, está aumentando cada día. Estoy dando solamente cuatro razones, pero hay muchas
más..., será suficiente, eso espero, para convencerles.
En la actualidad está muy en vigor la perspectiva socio-constructivista. En muchos países del
mundo, en congresos de investigadores, ahora se habla de socio-constructivismo; anterior-
mente se hablaba [sólo] de constructivismo. La idea es que cada persona construye sus cono-
cimientos, constructivismo en un cierto sentido. El socio-constructivismo insiste sobre el
hecho que, cuando se aprenden cosas, no sólo hay actividad cognitiva sino que también la
interacción con otras personas ayuda mucho, es un factor de ayuda y que acelera el apren-
dizaje. La discusión con otra gente, el trabajo en equipo, la interacción social, son factores
importantes. Se habla de Vigostsky, se habla de varios autores. Tomando esta tendencia
actual en cuenta, una de las consecuencias es que la resolución de problemas tomará más
importancia porque, cuando los alumnos van a resolver problemas, será una gran oportuni-
dad para trabajar en equipos (grupos), para descubrir o resolver problemas juntos, será una
oportunidad de oro para aplicar esa idea, mucho mejor que cuando hacen ejercicios indivi-
duales de Algebra, por ejemplo. En la parte de resolución de problemas es donde todo esto
se puede ver más fácilmente.
Una segunda razón, para decir que la resolución de problemas tiene una importancia cada
vez más grande, es que es un objetivo para la educación en el nuevo milenio. Al comienzo
de esta semana, en Auckland (Nueva Zelanda), asistí a una conferencia en la que tres de los
conferenciantes hablaron del siguiente tema:
pasamos a un nuevo milenio con mucha nueva
tecnología...etc,etc, ¿cuáles serán los conocimientos y habilidades de base en educación?,
¿cuáles son las habilidades que un alumno, que va a vivir en el nuevo siglo, va a tener?.....
Y
tres personas diferentes de tres países distintos hablaron de ese tema y todos decían, más o
menos, la misma idea: "que vamos hacia un mundo más y más complejo y cada joven, que
es estudiante hoy en día, va a vivir en un mundo donde se va a enfrentar a situaciones más y
más complejas, incluso con la tecnología. La tecnología estará a su servicio pero tendrán que
resolver muchos problemas en el sentido propio" , y todos insistían que, en la formación que
vamos a dar a nuestros alumnos para que puedan vivir bien en el próximo milenio, la resolu-
ción de problemas será un instrumento magnífico para darles oportunidades de desarrollar
habilidades intelectuales, habilidades de autonomía, de pensamiento, estrategias,... para que
aprendan a enfrentarse a situaciones complejas, como las que tendrán en el mundo que
viene. Profundizando en este aspecto se puede también ver que intensificar la resolución de
problemas vale la pena porque, a través de ella, podemos hacer mucho más para cumplir los
objetivos de la educación matemática del próximo siglo.
Otro motivo - no sé si esto vale en España o en esta parte, porque supongo que tienen sus
currículos locales aquí -, es que hay muchos países en este momento donde están redefi-
niendo los currículos escolares. Es el caso de Quebec. No estamos contentos porque el minis-
tro va a imponernos un currículo de inmediato...., dice que es urgente y no se puede esperar
más, los profesores no están listos pero no importa...., hay que empezar,... etc., etc. La nueva
moda es la moda de las competencias y, anteriormente, nuestros currículos estaban definidos
de manera tradicional con conocimientos, habilidades, actividades a desarrollar; ahora hay
que hacer todo con competencias pero competencias definidas de una cierta manera.
Nosotros utilizamos una definición francesa, pero hay muchas otras...., más o menos la idea
es la siguiente: hay que definir el currículo con una lista de competencias. Una competencia
significa una capacidad, Los expertos dicen de movilizar recursos cognitivos (conocimientos,
habilidades, cosas que hemos aprendido) y aplicarlas en un contexto real. La idea es que, a
través de esas competencias, el gobierno quiere asegurarse que, no solamente los alumnos
aprenden cosas, sino que pueden aplicarlas en situaciones reales y, de esta manera, insisten
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en hablar de competencias. No es nuevo, anteriormente hablábamos de objetivos un poco
específicos y de objetivos a largo plazo. Entre estos últimos están las competencias, insistimos
mucho más en la idea de aprender para que sea aplicable y para que, además, lo sea en diver-
sos contextos. Es la idea de resolución de problemas: aprender a resolver problemas es apren-
der a enfrentarse a situaciones nuevas, donde no se sabe como resolver el problema, hay que
pensar y hay que utilizar estrategias diversas para resolverlo. Es análogo..... y, a través de ese
argumento, se puede, yo no voy a hacerlo, llegar a la idea que, gracias a enfatizar más la reso-
lución de problemas, podemos probablemente llegar más fácilmente a la adquisición de las
competencias.
El cuarto argumento que cito es que los estándares americanos: la edición del 89 fue revi-
sada, hubo una consulta durante 2 ó 3 años. Mucha gente fue consultada, profesores, padres,
matemáticos, didactas, pedagogos, etc. y, poco a poco decidieron cómo modificar los están-
dares [los que fueron traducidos al castellano]. En abril del 2000 han publicado una nueva
edición que ahora se llama "Principles and Standards for School Mathematics" y es accesible
en la web [es la web del NCTM: www. nctm.org]. Es un documento con posibilidad de ir, de
viajar a través de una red de información. Ya pueden pensar que el futuro en muchos países
tendremos, probablemente, currículos de Matemáticas definidos (elaborados y presentados)
por hipermedia. Esto significa que no solamente habrá texto, imágenes, vídeos, etc. Por ejem-
plo, si se habla de socio-constructivismo en el texto, haciendo un "clic", se obtienen expli-
caciones. Si queremos ver una aplicación en el aula, "clic", y aparecerá un pequeño vídeo y
se observa [en] el vídeo como el profesor está tratando de aplicar las cosas. O se quieren
obtener ejemplos de problemas para estimular tal habilidad, "clic", se obtienen ejem-
plos,....etc,etc.
Es por lo que vale la pena consultar [la página web del NCTM] para darnos una idea de los
currículos que tendremos en el futuro. De todas maneras aquí tenemos los nuevos estándares
[libro], es un resumen, porque el documento en papel es enorme. La edición electrónica es
mucho más fácil de consultar.
Lo que importa ahora es que, en lugar de muchos documentos, hay un solo documento y hay
seis principios, por ejemplo, un principio que se llama de "Tecnología", el de "Evaluación", el
de "Igualdad", etc..., hay principios y hay diez estándares. Antes había nueve, incluso la
"Resolución de Problemas".
Antes teníamos: Números, Álgebra, Geometría, Análisis de Datos, Medida, Resolución de
Problemas, Conexiones, Comunicación, Razonamiento,..., había nueve. Ahora distinguen dos
tipos de estándares: ESTÁNDARES DE CONTENIDO y ESTÁNDARES DE PROCESOS. Y la
resolución de problemas aparece en los estándares de procesos, lo que tiene mucho sentido,
y entonces la resolución de problemas aparece aquí, Razonamiento y Prueba
(Demostración)..., ahora hay mucho más sobre pruebas (demostraciones), lo que faltaba en la
edición anterior, Comunicación, Conexiones....., y hay un nuevo estandar que se llama
"Representación", el uso de varios tipos de representaciones en Matemáticas.
¿Cuál es la idea?, Hay una idea estratégica de mostrar que el contenido es importante, pero
los procesos también, más o menos igual. Habían pensado incluir un nuevo contenido,
"Matemática Discreta", hubo mucha discusión y hasta el último momento se pensaba que
habría seis estándares de contenido con el de Matemática Discreta, (un poco sobre grafos,
combinatoria,...etc). Al final decidieron no incluir Matemática Discreta, sino hubiera habido
un desequilibrio 6 contra 5 y, por motivos estratégicos, un poco políticos, decidieron poner
5/5, para mostrar que las normas de calidad, hay cinco sobre procesos y cinco sobre conte-
nidos, y el mensaje es que, en los currículos que vamos a construir a partir de eso, hay que
observar ese equilibrio.
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Tendencias actuales de la resolución de problemas
La conclusión de esta primera parte es que el tema de resolución de problemas en
Matemáticas no es nuevo, incluso en la educación en el ámbito escolar ha aparecido hace 20-
30 años, dependiendo del país. Hubo países que esperaron hasta los años 90, antes de hablar
de eso en los currículos y, ahora, parece que hay varios factores que estimulan la continua-
ción de la popularidad de este tema. No solamente porque es popular, sino porque, gracias a
la resolución de problemas, se piensa que se van a alcanzar muchos objetivos importantes
para el siglo que viene mucho más fácilmente que sin resolución de problemas.
A continuación, voy a mencionar las dificultades encontradas. He trabajado mucho en mi
país, en mi provincia, Quebec. He trabajado para el gobierno durante muchos años, para el
Ministerio de Educación y teníamos el problema de cómo implementar esas ideas. Sobre el
papel está bien, es fácil hablar...., resolver problemas es bueno.... pero, el profesor, que no ha
sido formado para eso tiene dificultades y no basta con dar órdenes al profesor: "ahora tú vas
a cambiar todo... y tú vas a enseñar a resolver problemas"..., no es tan fácil y no hay cambio
en educación si los profesores no hacen el cambio, es claro, solamente el profesor puede ser
el instrumento para un cambio real.
En mi Provincia, el Ministerio publicó en 1988 un pequeño libro para ayudar a los profeso-
res, para explicar las ideas de la resolución de problemas, en términos muy sencillos, con
ejemplos para facilitar el trabajo de la implementación.
Asociaciones de profesores tenían congresos, organizaron muchos talleres, conferencias,
publicaciones, artículos, etc., para popularizar el tema, para dar ideas a la gente y facilitar
las cosas. Las universidades organizaron cursos, mejoraron la formación inicial de los docen-
tes y su perfeccionamiento. Las editoriales intentaron mejorar un poco sus textos pero ellos
no quieren cambiar las cosas rápidamente, porque no van a vender sus libros si el texto es
demasiado avanzado respecto a la formación de los docentes,.. claro!.. Entonces hubo
muchos esfuerzos durante 15/20 años y, realmente, hubo algún progreso, pero no tanto como
se esperaba y, eso, nos preocupaba mucho: progresos lentos y limitados.
La gente que recibía cursos de perfeccionamiento mejoraba un poco su enseñanza, poco a
poco, los que no recibían los cursos no cambiaban su enseñanza, continuaban enseñando de
la manera tradicional: las dificultades de cómo implementar esas buenas ideas como la reso-
lución de problemas continuaban. Muchos de ustedes conocerán que hubo una encuesta
internacional que se llamaba TIMSS, la tercera encuesta internacional sobre rendimiento esco-
lar en Matemáticas y Ciencias. Creo que España participó..., Canadá no participó pero sí
alguna de sus provincias y, en esta encuesta enorme, se intentaba ver lo que los alumnos
aprenden en los diversos países, lo que los profesores dicen, es decir, la opinión de los profe-
sores en los diferentes países sobre su formación, sobre las dificultades que encuentran, sobre
los métodos que utilizan para enseñar, etc. y, también, había una evaluación de los currículos
oficiales en muchos países para compararlos.
Un resultado, que aparece en las conclusiones, es que,
la mayoría de los profesores de la
mayoría de los países, dicen que no se sienten capacitados en la resolución de problemas y
que no están cómodos con ese tema
. No saben muy bien como implementar esas ideas que
circulan sobre la resolución de problemas. Esto es otra señal de que, aunque es una idea
bonita, muy buena, es de difícil implementación en la práctica. Yo creo que estoy dando expli-
caciones, no como crítica al profesorado, sino para intentar ver de que manera se podrían
mejorar las cosas, porque hay que diagnosticar donde están las dificultades para intentar
mejorar las cosas.
Voy a explicar el que, a mi entender, y en opinión también de otros investigadores es el pri-
mer factor de estas dificultades. El experto en resolución de problemas, Jeremy Kilpatrick,
publicó un texto muy famoso donde él hablaba en inglés del "bang bangle", la moda de la
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resolución de problemas, que la gente quería seguir la moda sin saber lo que significaba y que,
mucha gente, decía que seguía la moda, pero hablaban de varias cosas, no sabían en que con-
sistía la moda. Entonces, yo había dado una conferencia en Tenerife, en el 85 ó 86, y alguien
preparó un resumen que fue publicado en la revista "Números". Voy a repetir algunas ideas
que mencioné ya entonces, y vamos a ver algunas interpretaciones que se encontraban en
América y en otros países sobre la resolución de problemas. Recuerden lo que dije antes....,
que en el año 80 en América del Norte hubo un documento, en el que la primera recomen-
dación era que la resolución de problemas debe ser el objetivo principal de la próxima década
en la enseñanza de la matemática escolar.
¿Cómo era interpretado esto? Yo investigué ese tema en el 82-83 y había encontrado al menos
seis interpretaciones, muy comunes. Por ejemplo, había gente que decía: Ah!,... sí! .., sí! , yo
enseño Aritmética, Álgebra, yo doy la teoría y, al final del capítulo, hay algo que se llama pro-
blemas. Entonces lo que quieren decir es que ahora vamos a dar más importancia a esa sec-
ción al final del capítulo. Sección que contenía principalmente ejercicios, no problemas
genuinos. Este fue el modo como el mensaje fue entendido por ciertas personas, ya que el
mensaje no era claro y es fácil consultar los textos de la época y ver que, yo creo de una
manera intencional, eran escritos de manera vaga y un poco ambigua, para que toda la gente
se sintiera capaz de aplicarlos.
Otros profesores, y había muchos, decían: sí, sí,.... yo entiendo....., citaban a Polya.....
Entonces la idea es que ahora, cuando voy a enseñar, de vez en cuando, yo tendré que dar a
mis alumnos problemas genuinos, yo utilizo muchos ejercicios...., demasiados..., yo voy a
introducir algunos problemas de vez en cuando.. y eso es lo que significa dar más
importancia a la resolución de problemas. Antes había muy pocos problemas y ahora habrá
más. Es fácil verificar que había gente escribiendo artículos o cartas y explicando que eso era
la interpretación de la recomendación.
Otros, en Quebec había muchos, que decían.... sí.... sí, enfatizar la resolución de problemas
ahora..., ahora significa que, al final, en lugar de dar problemas abstractos vamos a dar
muchos más problemas reales, realistas, de la realidad de la vida de cada día. Y entendieron
la recomendación en este sentido. Al final nos dice el NCTM, terminar [con] los problemas
abstractos, muchos más de la vida cotidiana, entendieron la recomendación de esta manera y
para ellos esto era lo esencial olvidando el resto. Toda esa gente tenía un objetivo común: "es
que enseñar para la resolución de problemas significa que hay que enseñar la manera que
nuestros alumnos, al final, sean capaces de resolver problemas, problemas genuinos, no
importa que sean matemáticos o de la vida real o problemas del final del capítulo...., que son
más o menos problemas verbales, en inglés word-problems, que son ejercicios muchas veces
o problemas reales".
Otras personas, que habían escuchado a investigadores o habían leído a Polya, interpretaron
la misma recomendación de otra manera diciendo: "enfatizar la resolución de problemas en
nuestra enseñanza significa ahora que vamos a enseñar estrategias de resolución de proble-
mas, porque sin estrategias los alumnos no saben como resolver problemas, entonces, como
hay varias estrategias, vamos a enseñarlas con muchos ejemplos. Eso era muy popular, hay
libros enteros en el mercado que circulan ahora también, todos son libros donde el contenido
es "Cómo aprender tal estrategia", tal otra, etc. y el énfasis está, casi completamente en este
tema y, claro, que la persona que piensa así, piensa que es una manera evidente de mejorar
la enseñanza de la Matemática y de aplicar la recomendación de enfatizar la resolución de
problemas.
Hay otros que, también, conocían el modelo de Polya. No sé si hay mucha gente que conoce
el famoso modelo de Polya.... Cuatro etapas al enfrentarse a un problema:
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Tendencias actuales de la resolución de problemas
1ª
Etapa:
Hay que entender el problema
, hay que leer, leer.... y entenderlo.
2ª
Etapa:
Definir una estrategia, definir un plan de resolución
.... Tiene mucho sentido.
3ª
Etapa:
Aplicar el plan
. También tiene mucho sentido.
4ª
Etapa:
Revisar si todo está bien
.
Es más o menos la idea, hay variaciones..., todo es muy lógico. Polya en sus artículos en
vídeos presentaba ese modelo diciendo a la gente: "es un modelo muy fácil, pueden apli-
carlo". Hay gente, hay profesores, que interpretaron la recomendación de hacer más resolu-
ción de problemas, como que "ahora vamos a enseñar el modelo de Polya a nuestros alum-
nos, porque así, en lugar de no saber lo que hacer enfrente de un problema, tendrán un plan,
un instrumento. Si siguen todo el plan todo irá bien"; pero esto no es verdad. La gente que
pensaba así, interpretaban la recomendación "que hay que enseñar a los alumnos algo sobre
el proceso de resolución de problemas", "lo que significa que hay que darles instrumentos
para que sean mejores en la resolución de problemas". Pueden ser estrategias de resolución,
se llaman también procesos heurísticos en el libro de Polya, o pueden ser modelos o pueden
ser otras cosas.
Había otra categoría de pedagogos, especialmente los más ambiciosos, que decían: "lo impor-
tante para realmente enfatizar la resolución de problemas, no es resolver más problemas o
aplicarlos en la vida cotidiana, lo importante es utilizar la resolución de problemas como el
mejor vehículo para enseñar todo, enseñar a través de resolver problemas". Hay pedagogos
que dicen que eso es la solución para enseñar mejor, que son capaces de hacerlo porque es
difícil. Enseñar las Matemáticas a través de problemas, incluso la teoría, en lugar de exponer
la teoría y dar ejercicios, partir de los problemas, y poco a poco, surge la teoría, cristalizar un
poco la teoría, dar nuevos problemas para aplicar y consolidar. Es una perspectiva que tiene
mucho sentido, pero es difícil de aplicar , y hay docentes que interpretaron la recomendación
de esta manera.
Es decir, cuando decía que hay una falta de consenso y una cierta confusión sobre lo que sig-
nifica enfatizar la resolución de problemas, quiero decir que existen personas que piensan e
interpretan de diferentes maneras. No es muy grave...., lo importante es mejorar las cosas
pero, si un gobierno o una asociación quieren proponer un mensaje, difundirlo e implemen-
tar esas ideas, se necesita un mínimo de coherencia y, en este caso, falta la coherencia. Este
es el problema.
Resumiendo, podemos apreciar que estoy distinguiendo entre:
1º Enseñar
"PARA"
la resolución de problemas
2º Enseñar
"SOBRE"
la resolución de problemas
3º Enseñar
"A TRAVÉS"
de la resolución de problemas
Son tres perspectivas y, en realidad, las tres son importantes. En los dos primeros casos la reso-
lución de problemas está considerada como un objetivo y, en el tercer caso, como vehículo
para enseñar o desarrollar otras cosas. Mi opinión es que esta falta de coherencia es el primer
motivo por el que hay dificultades de implementación de estas buenas ideas sobre la resolu-
ción de problemas.
Yo presento
un segundo factor que
, en mi opinión, explica porque es tan difícil tratar de mejo-
rar las cosas. Este segundo factor es que hay una falta de visión sistémica de la resolución de
problemas, o un énfasis exagerado de un aspecto particular. Por ejemplo, si se observan los
tres apartados anteriores, en realidad, todos son importantes. Hay personas que dicen que para
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mejorar, para implementar las recomendaciones hay que hacer solo una de las cosas, el resto
no importa. Es lo que llamo una insistencia exagerada en un aspecto. En realidad habría que
hacer un poco de todo esto, enseñar un poco sobre estrategias o modelos, también hacer que
los alumnos sean capaces de hacer más problemas reales o enseñar a través de resolver pro-
blemas.
Tener una visión sistémica o global para mí significa, tener en cuenta todo eso simultánea-
mente... y es complicado porque, primero, hay que entender los detalles y hay que pensar
cómo integrar todo eso... y cómo enseñar en la realidad teniendo todo eso en cuenta...., es
complicado........ El tema de la resolución de problemas es complejo, tiene muchos aspectos
y, aquí, pretendo señalar algunos más.
El gran investigador Schoenfeld, que es uno de los que ha investigado mucho sobre la resolu-
ción de problemas en Matemáticas en los años 80, había intentado aplicar las ideas de Polya
y se encontró con obstáculos. Al final publicó mucho sobre lo que llamó aspectos metacog-
nitivos. Su idea era la siguiente: para que un alumno aprenda a resolver problemas matemá-
ticos, de una manera correcta, no es suficiente que resuelva más y más problemas, no es sufi-
ciente conocer más y más estrategias. Tener estrategias es como un obrero que tiene una caja
de instrumentos, por ejemplo, un carpintero que, cuando tiene que hacer un trabajo utiliza un
instrumento u otro y, a veces, no sabe si utilizar uno u otro, no sabe si irá bien o no.
Para una persona que resuelve problemas, conocer dos, tres,..... diez estrategias, es tener estra-
tegias en una caja a su disposición. Frente a un nuevo problema puede utilizar tal estrategia,
y si no funciona, probar con otra, como el carpintero. Y la persona que no conoce ninguna
estrategia, tiene una caja vacía, con lo que no es fácil que llegue a resolver el problema; por
el contrario, si tiene, si conoce estrategias, si tiene métodos de resolución de problemas,
conoce el modelo, conoce varias cosas, entonces sabe algo de cómo enfrentarse a los pro-
blemas y sabe que alternativas puede utilizar para resolver un problema.
Schoenfeld, en sus investigaciones, descubrió que eso no es suficiente, incluso la persona que
tiene una gran caja, con muchos instrumentos, muchas estrategias...., no es suficiente. Se
necesitan otras cosas para ser un buen resolutor de problemas.
La idea de Schoenfeld es que hay que tener, digamos,
un control ejecutivo
, hay que contro-
lar la actividad de la resolución de problemas. Si se toma una estrategia, un instrumento de la
caja, y se usa para intentar resolver un problema, hay que controlar lo que pasa y, en cierto
momento, decir: basta!, no va bien con este instrumento y vamos a intentar utilizar otro. La
decisión de tomar tal estrategia en lugar de tal otra, la decisión de continuar la investigación
con tal estrategia en lugar de cambiarla, o la decisión de parar el trabajo y de cambiar de ruta
para resolver todo esto es
metacognitivo
. Es una parte de lo que se llama metacognición, con-
tiene una parte que sirve para controlar, para supervisar el trabajo y también para evaluar.
Pero la metacognición también contiene otra cosa que son las "creencias". Las creencias influ-
yen sobre la actividad de la resolución de problemas. Por ejemplo, una persona que tiene
experiencia en la resolución de problemas, tiene que aprender que, a veces, en un problema
se necesita mucho tiempo, que hay que parar y continuar otro día, o hay que esperar que
durante la noche el cerebro trabaje un poco; se aprende que no hay que ser demasiado impul-
sivo y hay que ser paciente; que, a veces, hay un camino para resolver un problema que
parece muy bonito y que, al final, no funciona y hay que recomenzar en otra dirección.
Entonces hay actitudes, creencias sobre esta actividad que hay que desarrollar y que van a
ayudar a un buen resolutor de problemas.
Schoenfeld explica en un artículo que su idea anterior, según Polya, de aprender estrategias,
de aprender un modelo y aplicarlo no era suficiente. Ahora sabemos, porque se hicieron
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muchos más trabajos de investigación, que hay una componente metacognitiva muy impor-
tante. Esto significa que, cuando enseñamos a nuestros alumnos, de vez en cuando, enfrente
de la clase hay que simular (explicar) lo que pasa: Ah!.... sí! sí!..., hemos intentado ese
método......., hum!... vamos a continuar o cambiar de método.....,¿qué piensan ustedes?, para
que los alumnos puedan ver que es normal tomar ese tipo de decisiones y que, a veces, es
normal también conservar su paciencia y todo eso
La componente metacognitiva, entonces, hay que añadirla y, cuando digo una visión sistémica
de la resolución de problemas, se debe incluir esto y, esta parte, es muy difícil. Una vez,
dando yo cursos de resolución de problemas en mi universidad, un profesor me decía: muy
bien...., está bien....... pero ahora en mi aula, ¿qué voy a hacer para asegurar que estarán bien
cuidados esos aspectos?. Yo no tengo una solución mágica porque hay que tener en cuenta la
metacognición y, al mismo tiempo, otras muchas cosas. Es como un director de orquesta que
tiene que controlar varias cosas y no hay un algoritmo para eso. Es solamente después de ser
consciente de la complejidad del proceso, de las diversas variables que hay que controlar un
poco, cuando cada uno aprende su camino.
Vayamos ahora a revisar otro aspecto interesante:
los aspectos afectivos
.
Hay trabajos recientes de Goulding sobre la afectividad en la resolución de problemas. Son
muy importantes la afectividad positiva y la negativa. La afectividad positiva, por ejemplo,
cuando hemos resuelto un problema estamos muy contentos realmente......lo he conse-
guido!...., estamos contentos y, a veces, durante el proceso tenemos algunos estados de
excitación positiva, pero hay también una afinidad negativa, a veces, no funciona nada, no
sabemos como continuar, parece que nunca vamos a encontrar una solución. O, a veces,
tenemos una solución que, en el último momento, no va y hay (aparece) una afectividad
negativa. Goulding ha desarrollado un modelo muy interesante para explicar todo eso y ver
la relación entre la afectividad y el aspecto cognitivo y metacognitivo.
Habla de representación de tipo afectivo. Es otro aspecto a añadir en la visión sistémica de la
resolución de problemas: significa también tener en cuenta la afectividad, porque no es ver-
dad que se pueda hablar de resolución de problemas sin tener en cuenta la afectividad. Si un
alumno no tiene motivación no va a resolver un problema, no va a realizar esfuerzos,....,
entonces, hay que saber cómo estimular la afectividad y cómo controlarle un poco, cómo
comprender las consecuencias de varios tipos de emociones que se encuentran en la activi-
dad de la resolución de problemas.
Otro ejemplo, que mencionaré aquí, para tener una visión sistémica que también hay que
tener en cuenta, es el caso de cuando resolvemos problemas verbales, un problema con una
historia, con frases, que se refieren a un contexto, problemas de enunciados. En este caso hay
una complicación añadida: la comprensión del texto y la creación de un modelo mental de
lo que significa el enunciado, para poder tener una representación mental correcta de la solu-
ción y del proceso de resolución. Y también existen trabajos para aprender sobre eso.
Yo digo que muchas veces es lamentable, pero es la realidad: observé en mi provincia y en
otros lugares que, muchas personas, muchos docentes, tienen una idea muy reducida de la
resolución de problemas. Insisten en unos aspectos olvidando el resto y, eso, tiene por conse-
cuencia que no hay un progreso notable porque se olvidan de aspectos esenciales. Tener una
visión sistémica es esencial pero es muy difícil cómo dar una visión de este tipo a los profe-
sores.
Un
tercer factor
es la tendencia a tratar la resolución de problemas como un contenido a
enseñar, y la dificultad de integrar la resolución de problemas con el resto de las Matemáticas
o la creencia que los problemas deben venir después de la teoría. Lo que habitualmente
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observamos es que, con mucha buena voluntad, hay profesores que quieren aplicar esas bue-
nas ideas de la resolución de problemas, pero siguen pensando en resolución de problemas
como un contenido. Hay Álgebra, hay Medida, hay Geometría, y hay Resolución de Pro-
blemas, y a veces, van a enseñar a tener horas de trabajo sobre este tema. Horas separadas
del resto, pero eso no ayuda porque el objetivo final es integrar la resolución de problemas
con toda la Matemática que se enseña. No es fácil porque no es contenido sino que es un
proceso. Y, ayudar a los alumnos para que sean mejores en resolución de problemas, no es
enseñarles algo como enseñar un algoritmo, es ayudarles a desarrollar habilidades intelec-
tuales, procesos de varios tipos, actitudes, etc.
La creencia, que los problemas deben venir después de la teoría, proviene también de nues-
tra concepción tradicional de la enseñanza. Tradicionalmente hacemos la teoría y luego la
aplicamos y, al final del capítulo, hay los problemas o ejercicios para aplicar. Tenemos esa
idea tradicional de un problema como la de un ejercicio que debe venir al final. Lo que no
entendemos bien sin una formación o preparación es que es posible partir de un problema
para abordar una nueva idea o una nueva teoría.
Comenzar con un problema, o a veces utilizar un problema, mientras los alumnos están
aprendiendo algo que no controlan bien. Un problema no sólo sirve para aplicarlo al final,
puede servir para explorar una nueva idea, consolidar un problema, puede venir antes,
durante o después de la "teoría". Tenemos esa dificultad, se debe eliminar esa idea de que pri-
mero es la teoría y luego habrá problemas. Eso va bien con los ejercicios, porque un ejercicio
tiene como papel ejercitarse, entonces, se aprende algo y luego se ejercita, es normal, pero un
problema tiene objetivos mayores.
Otra dificultad, -
cuarto factor
- que explica que no tengamos mucho éxito en la implemen-
tación de la resolución de problemas es que hay personas que piensan hacerlo y plantean: yo
quiero enseñar estrategias a mis alumnos. Está bien!; por ejemplo, una estrategia sería, ante
el enunciado lingüístico de un problema, dibujar una figura o hacer una ilustración (boceto)
de la situación, hacer una representación gráfica o un dibujo. Es una manera de ayudarme y
puede ser que me ayudara a continuar, se llama una estrategia..., al hacer un dibujo de la
situación representada en el problema.
Hay personas que dicen: muy bien!, voy a enseñar esa estrategia, voy a tomar 3, 4 ó 5 pro-
blemas que pueden usar esta estrategia y vamos a hacer una secuencia de problemas, todos
con la misma estrategia. Hacen de una estrategia un contenido a enseñar a través de ejerci-
cios; pero la experiencia muestra que no es así como se aprende mejor, sino que hay que
aprender varias estrategias simultáneamente y, en un cierto momento, cuando los alumnos
conocen un poco sobre el tema, se cristalizan las cosas con definiciones, con descripciones,
etc..., lo mismo con el modelo.
He llegado a ver personas que preparaban una ficha, una hoja con cuatro casillas, las cuatro
etapas del modelo de Polya. Había una parte para el enunciado del problema, luego una parte
de la hoja reservada para la primera etapa (fase del problema), para la segunda, tercera y
cuarta. Los alumnos tenían la obligación de completar cada casilla y de seguir las cuatro eta-
pas en este orden. No tenían la posibilidad de volver, de regresar a otra etapa anterior, etc.
Esto es una exageración y, tratar el modelo como un contenido que se enseña como un algo-
ritmo u otra cosa también lo es.
Una dificultad muy importante -
quinto factor
- que nuestros docentes nos mencionan es la
evaluación. Dicen: "estoy de acuerdo en enfatizar la resolución de problemas pero no sé
cómo evaluar". Es un problema real y hay, al menos, dos tipos de evaluación. Primero, cuando
enfatizamos en la resolución de problemas, estamos interesados en ver los progresos de cada
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alumno en el sentido que puedan resolver problemas y, en el sentido que conozcan más y más
estrategias y que sean más y más capaces de hacer ciertas cosas. Por esto se necesitan méto-
dos, instrumentos,... para observar a los alumnos y comprobar el progreso, a través de las
semanas, el progreso de cada alumno. Esos instrumentos existen pero muchos docentes no los
conocen.
La segunda cuestión en la evaluación es que, si pretendemos que en la resolución de proble-
mas no solamente sea importante la respuesta sino que también lo sean el proceso y el
método, habrá que considerar esa perspectiva. Cuando vamos a dar notas al alumno que
resuelve el problema, habrá que dar notas para el proceso, no sólo para la respuesta. Hay
maneras de hacer eso...., hay varias maneras...., pero hay que practicar....., hay que apren-
der...., pero hay profesores que nunca han aprendido. Esto significa que necesitan más forma-
ción en este sentido. Hay que ser coherente. Enfatizar en la resolución de problemas significa
poner más énfasis en el proceso, en el método de resolver y no solamente en el resultado...,
en el producto.
Para ser coherentes como pedagogos tenemos que evaluar de manera coherente, entonces,
evaluar el proceso y no sólo el resultado. Esto es, en mi opinión, otra cosa que explica que
haya problemas de implementación.
Y mencionaré como
sexto factor
, la falta de formación de los docentes y la falta de recursos
adecuados. Por ejemplo, a veces, recuerdo cuando empezamos a trabajar en este tema en el
88, de los textos que existían en el mercado, la mayoría eran tradicionales, se podía ver, al
abrir un texto, que no había casi ningún problema, muy pocos....., casi todos eran ejercicios.
Por tanto, con tales instrumentos es difícil...., el profesor tiene que construir su propio banco
de problemas, porque no hay bastantes en el libro o hay que consultar otros textos. Estos son
factores que explican las dificultades.
Es decir, como conclusión de esta segunda parte: la resolución de problemas permanece
importante y, en mi opinión, será cada vez importante en el nuevo siglo; pero hay dificulta-
des que explican que los últimos veinte años no hayamos progresado mucho. La única
manera, en mi opinión, es que hay que comenzar a trabajar en la formación de los docentes.
Por ejemplo, yo soy director de varios programas y hemos decidido desarrollar cursos sobre
resolución de problemas para profesores de primaria, de preescolar a 6º ó 7º grado. Hace siete
años que funcionan y tenemos resultados muy interesantes.
Hemos creado dos cursos para ellos y, en estos cursos, intentamos tener en cuenta todo lo que
se necesita y, además, en esos cursos hay que actuar de manera que, al final, los docentes ten-
gan una visión sistémica de la resolución de problemas: que sepan como evaluar, que sepan
cómo construir un banco de problemas para tener más recursos y, también, que estén sensi-
bilizados con los diferentes aspectos, para que los docentes entiendan bien el proceso de
resolución de problemas, de manera intencionada. Pasamos el primer tercio del curso, que es
mucho tiempo, pidiéndoles que resuelvan problemas como alumnos. Decidimos no discutir
qué hacer en el aula; primero van a resolver problemas y van a discutir de su experiencia, y
cada uno va a explicar su método de resolución. Vamos a hacerlo como en el aula, como
luego ustedes van a hacerlo con los alumnos.
Recoger varios métodos de resolver un mismo problema, comparar los métodos y otra vez
hacer lo mismo, y otra vez, y constatar que el mismo método, la misma estrategia aparece de
vez en cuando, hacer todo eso. Primero observar a personas que resuelven problemas; por
ejemplo, ponemos a los profesores en grupos de dos: uno resuelve el problema y habla en voz
alta de lo que piensa cuando lo está resolviendo. El otro observa y toma notas, después se
cambia el rol y, al final, se discuten los procesos que cada uno ha seguido, de lo que el otro
observó, etc.
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Para que puedan comprender mejor lo que ocurre cuando se resuelven problemas y, después
de resolver muchos problemas y de encontrar varias estrategias, poco a poco, empezamos a
discutir que hacer con los alumnos, y de la dificultad para que tengan una visión sistémica.
Después de esto, que tendrán que preparar actividades para tres semanas sobre lo que tienen
que enseñar: van a comprobar su preparación, como explicar eso....., Señalamos una etapa
de 3, 4 ó 5 semanas con lo que tienen que enseñar, y van a planificar todo de manera que
integren la resolución de problemas en toda la etapa. Significa que tendrán que pensar en
muchas cosas variadas: ¿Cuáles van a ser los problemas que van a introducir en la etapa para
que esos problemas permitan el aprendizaje de los contenidos de la etapa? Por ejemplo, si
enseñan fracciones, si están enseñando fracciones, deberán integrar la resolución de proble-
mas en esta etapa, para que esos problemas contribuyan al aprendizaje de las fracciones.
Van a seleccionar los problemas, van a analizar ceda uno de estos problemas para pensar que
van a desarrollar en el alumno esos problemas, qué habilidad, qué conocimiento, para que
puedan comprender bien cual es el papel de cada problema en la etapa. También van a tener
en cuenta la evaluación de los alumnos...
Como conclusión general, me gustaría destacar que la resolución de problemas es importante
y hay que hacer mucho más en el futuro. Hay dificultades, soy consciente de que esas difi-
cultades que he mencionado se encuentran en muchos países, y es fácil entender porque lo
son, podemos prever esas dificultades. Para mejorar las cosas no basta publicar nuevos libros,
es importante ayudar a los docentes de diferentes maneras y, las asociaciones y grupos de
profesores que organizan congresos como éste, tienen un papel importante para ayudar al
proceso, para esto y para otras cosas y, entonces, hay que facilitar las cosas a los docentes, a
través de talleres, cursos, materiales.. y hay que proponerles no sólo ideas y problemas...., hay
que proponerles estrategias para implementar eso.
Se puede empezar de manera muy modesta, utilizar un problema de vez en cuando en el
aula, pero utilizarlo de manera máxima y, por ejemplo, provocar muchas soluciones, provo-
car la discusión de los alumnos sobre las soluciones; hacerlo una vez por semana o cada dos
semanas como primer paso y, cuando estén acostumbrados, podrán pensar en hacer mucho
más, significa integrar la resolución de problemas en muchos lugares.
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